正定（positive definite）二次型是将实数的正负概念推广到 n 元二次型和 n 阶对称矩阵的一个概念。

定义

如果对于任意的非零向量 x，二次型 f(x) = x^{\mathrm T} A x 的值都大于 0，则称二次型 f 为正定二次型，此时也称该二次型对应的矩阵 A 为正定矩阵。

性质

基本性质

正定矩阵有以下 6 条等价性质：

• 对任意 x \ne 0：x^\mathrm{T} A x > 0（正定的定义）；
• A 合同于 I
• 存在方阵 C 使得 A = C^{\mathrm T} C；
• A 的顺序主子式全大于 0；
• A 的任意主子式全大于 0；
• A 的特征值全大于 0。

实半正定矩阵有唯一的半正定平方根。设 A 是半正定矩阵，则存在唯一的半正定矩阵 B，满足 B^2 = A。可以记这个半正定平方根为 \sqrt{A}。

理解：设 A 的特征分解为 A = P^{-1} \Lambda P，\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)，令 \sqrt{\Lambda} = \operatorname{diag}\left( \sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n} \right)，则 \sqrt{A} = P^{-1} \sqrt{\Lambda} P。