二重外积公式

对任意的 a, b, c \in \mathbb{R}^3，有

a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c.

变形：

(u \times v) \times w = (u \cdot w) v - (v \cdot w) u.

推导

设 r = a \times (b \times c)，由于 b \times c 垂直于 b, c 所在平面 \text{span}(b, c)，而 r 由垂直于 b \times c，所以 r \in \text{span}(b, c)，于是可以线性表示：

r = \lambda b + \mu c; \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}.

同时又有 r \perp a，所以 a \cdot r = 0，所以

a \cdot r = \lambda (a \cdot b) + \mu (a \cdot c) = 0.

这是一个关于 \lambda, \mu 的线性方程，可以得到基础解系

\lambda = ka \cdot c, \mu = -k a \cdot b, \quad k \in \mathbb{R}.

由此已经得到公式 a \times (b \times c) = k [(a \cdot c) b - (a \cdot b) c]，接下来确定系数 k。取一组特殊值 a = \hat{i}, b = \hat{i}, c = \hat{j}，代入公式得到 k = 1，公式证毕。

对任意的 a, b, c, d \in \mathbb{R}^3：

(a \times b) \cdot (c \times d) = \begin{vmatrix} a \cdot c & a \cdot d \\ b \cdot c & b \cdot d \\ \end{vmatrix}.