这里所指的 n 阶行列式，通常是按一定规律排列，n 任意大的行列式，这类行列式的计算往往需要许多技巧，也是推导某些公式的重要过程。

典型文字行列式

几个典型的任意阶文字行列式如下。

爪形行列式

爪形行列式的形式和公式如下：

\begin{vmatrix} a_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \\ c_2 & a_2 & & \\ c_3 & & a_3 & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ c_n & & & & a_n \\ \end{vmatrix} = a_2 a_3 \cdots a_n \left(a_1 - \sum_{i = 2}^n \frac{1}{a_i}\right).

上式中留空处代表元素为 0。

这个行列式的计算方法为第一列加上后面每一列的倍数，从而将第一列的 c_2, \dots, c_n 全部消去。这里令第 1 列加上第 2 列的 -\frac{c_2}{a_2} 倍，第 3 列的 - \frac{c_3}{a_3} 倍，依此类推，得到：

\begin{vmatrix} a_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \\ c_2 & a_2 & & \\ c_3 & & a_3 & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ c_n & & & & a_n \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 - \sum\limits_{i = 2}^{n} \frac{b_ic_i}{a_i} & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \\ 0 & a_2 & & \\ 0 & & a_3 & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ 0 & & & & a_n \\ \end{vmatrix} = \left(a_1 - \sum_{i = 2}^{n} \frac{b_ic_i}{a_i} \right) a_2 a_3 \cdots a_n

特殊地，有：

\begin{vmatrix} a_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a_2 & & & \\ 1 & & a_3 & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ 1 & & & & a_n \\ \end{vmatrix} = a_2 a_3 \cdots a_n \left(a_1 - \sum_{i = 2}^n \frac{1}{a_i}\right).

变形：若除了对角线所在元素，以及第一行以外，其他数都是同一个数 x，同样可以转化为爪形行列式。

形如

\begin{vmatrix} a_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n \\ x & a_2 & x & \cdots & x \\ x & x & a_3 & \cdots & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x & x & x & \cdots & a_n \\ \end{vmatrix}

的行列式，可通过给行列式的每一行都减去第 1 行，转换为爪形行列式。

特殊地，除了对角线以外，元素都是同个数 x 的行列式，有：

\begin{vmatrix} a_1 & x & x & \cdots & x \\ x & a_2 & x & \cdots & x \\ x & x & a_3 & \cdots & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x & x & x & \cdots & a_n \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \cdots & x - a_1 \\ x & a_2 - x & & & \\ x & & a_3 - x & & \\ \vdots & & & \ddots & \\ x & & & & a_n - x \\ \end{vmatrix}

最终可计算得

\begin{vmatrix} a_1 & x & x & \cdots & x \\ x & a_2 & x & \cdots & x \\ x & x & a_3 & \cdots & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x & x & x & \cdots & a_n \\ \end{vmatrix} = \left[ a_1 + x(x - a_1) \sum_{i = 2}^n \frac{1}{x - a_i} \right]\prod_{i = 2}^n (a_i - x).

三对角线行列式

三对角线行列式：主对角线全是 a，上次对角线全为 b，下次对角线全为 c 的行列式，形如：

D_n = \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ c & a & b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & c & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c & a \\ \end{vmatrix}

02.3 n 阶行列式的计算

典型文字行列式

爪形行列式

三对角线行列式

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典型文字行列式

爪形行列式

三对角线行列式

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