主动变换与基变换

物理学直觉和类比

一个质点向前移动了 5 m，它的坐标增加了 5；我们也可以认为质点没有移动，而是参考系相对于质点后退了 5 m，这同样导致它的坐标增加了 5。

平面上，一个摄像机架在原点的垂直正上方向下拍摄，一个质点绕原点逆时针旋转了 90°，摄像机将录到一段视频。如果质点没有运动，而是摄像机绕着摄影轴顺时针旋转了 90°，摄像机也将录到相同的视频。换句话说，质点的运动，或者坐标系的反向运动，两者都将导致质点落到坐标系的同一位置。

因此，我们可以认为，质点的运动，等价于质点不动、坐标系的逆运动。

基变换与坐标变换

假设坐标系 S_1 的基是 \mathbb{R}^n 的标准基，而 S_2 的基则是 f_1, \dots, f_n。我们已知向量 v 在 S_1 的坐标是 v_1，需要找出在 S_2 下的坐标 v_2。

如果我们直接构造矩阵 P = (f_1, \dots, f_n)，或者使用线性代数的基变换语言，写成形式行向量

矩阵 P 的意义似乎就是一种主动变换：它将所有的点 x 移动到了另一个位置 y，移动的规则是 y = P x。这里矩阵的每一列就表示原本在 e_i 位置的点，会被移动到 f_i 位置。然而，同一个向量在两个坐标系下的关系却是

可以看到，将 S_1 的坐标转换到 S_2，使用的却是 S_1 到 S_2 过渡矩阵的逆！这有如下几种方法来理解。

相对运动

由于前面提到，主动变换和坐标系变换是相对的。如果我们对坐标系施加了主动变换 P，我们是将基向量移动了，而点没有移动。而想要找出新的坐标，就需要“认为基向量没动”，而是所有的点相对于坐标系动了。由于相对关系，对着基向量（坐标系）施加变换 P，便等价于对着所有的点施加变换 P^{-1}，这说明了

这就是坐标变换公式。

下图可以直观描述这种相对关系：把变换 T 作用在坐标系上让基底变化，或者把 T^{-1} 作用在点上，都会产生同一个坐标。

打破对称性

联想诱导公式的“奇变偶不变，符号看象限”，这里诱导公式的符号正负也是很容易混淆的点，而符号看象限就是打破对称性，强行假设一个第一象限的角来得到符号。

这里也一样，我们可以假设这个线性变换包含放缩，S_2 的向量都比 S_1 短得多，这样向量 v 以 S_2 这些短向量做基底时，坐标 v_2 就会很大，此时为了变换回 S_1，就需要乘上一个行列式非常小的矩阵。显然，只有 S_2 的基向量在 S_1 下的表示才是很小的向量，排成的行列式也很小。于是得到

线性映射的定义角度

另一个角度：坐标变换就是将 f_1 映射为 (1, 0, \dots, 0)，将 f_2 映射为 (0, 1, \dots, 0)，所以它刚好是矩阵 P = (f_1, \dots, f_n) 的逆变换。

变换与流形方程

设一个曲面 S 的方程是 f(x, y, z) = 0，我们使用点变换 r' = Tr，将曲面上的所有点 (x, y, z) 移动到了新位置 (x', y', z')，问平移后的曲面 S' 应该满足什么方程？

基本思路：曲面 S' 的点 P' (x', y', z') 都对应一个变换前的点 (x, y, z) = T^{-1}(x', y', z')，而变换前的点将满足方程 f(x, y, z) = 0，所以新的曲面方程是 f(T^{-1}(x, y, z)) = 0。

计算上，只需要先解出反变换 r = T^{-1}r'，然后再用反变换把原方程的 x, y, z 代替掉，就得到新的曲面方程。

例：二次曲面方程

参考：二次曲面计算