直观理解

横切

对于积分

我们不再像 Riemann 积分那样，理解为 Riemann 和 \sum f(x_i) \Delta x_i 的极限。这种理解方法难以推广到高维情况。

我们从横切的角度理解：对于一个函数 f(x)，我们首先假设它是有界函数，然后取它的一个下界 c 和一个上界 d。然后，我们将 [c, d] 切成许多横条：c = y_0 < y_1 < \dots < y_n = d。对于每一个 y_i，我们看函数值位于 [y_{i - 1}, y_i) 的横坐标集合 X_i = \{x: y_{i - 1} \le f(x) < y_i\}，测量它的长度 m X_i，然后再将它们乘以 y_i，加起来得到：

当这种划分的最大长度 \lambda 趋于 0 时，我们就得到了积分值：

这也是对 Lebesgue 积分符号正确的望文生义方法：对于符号 \int_D f(x) \mathrm{d} m(x)，我们应该将 \mathrm{d} m(x) 看作微小切片的测度 m\{x: y_{i - 1} \le f(x) < y_i\}，将 f(x) 看作这个窄条中任取的一个因变量值 y_{i}（或 y_{i - 1}，或其他值 \zeta_i \in (y_{i - 1}, y_i)），将积分号看作求和取极限。

如果以上每个积分区域都取 y_{i - 1}，以上方法实际上给出了简单函数的规范序列，利用规范序列的积分极限值就可以定义任意函数的积分值，这就是 Lebesgue 积分。

我们就得到了 Lebesgue 积分值。这实际上就是非负函数 Lebesgue 积分的层蛋糕公式：

注意等号右边被积函数是一个单调函数，所以可以直接应用 Riemann 积分。

定义

简单函数

如果有限集族 \{ E_1, \dots, E_n \} 是对一个给定集合 D 的划分，且一个函数 \psi 在每个集合上取值唯一，即可以写为

则称 \psi 是一个简单函数。

对于简单函数，我们直接定义它的积分值为：

性质

可测性

对于任意函数 f，下列两个命题等价：

• f 是 可测函数，即对任意的值 y，\{ x: f(x) < y \} 是可测集；
• f 的 Lebesgue 下积分和 Lebesgue 上积分相等。

抽象积分

对于抽象的积分，Riemann 积分的竖切思想会失效，但是 Lebesgue 的横切仍然有效。

概率论

（链接未公开） 的抽象定义是：

运用横切的思想，数学期望就是下述极限：

当 X 是连续型随机变量时，上述式子可以写成

这就是 Riemann 积分的定义，所以