特征向量（eigenvector）指的是在某个线性变换下方向不变的向量，其大小可能改变，缩放倍数称为特征值（eigenvalue）。

定义

在数域 \mathbb{F} 上的线性空间 V 中，设 A 是一个线性变换（当 V = \mathbb{F}^n 时即为一个 n 阶方阵），若存在一个非零向量 v \in V 和一个数 \lambda \in \mathbb{F} 使得

则称 v 为 A 的一个特征向量，\lambda 为 A 的一个特征值。

计算

特征多项式

设 A 是 n 阶方阵，若 \lambda 是 A 的特征值，v 是属于 \lambda 的特征向量，则有 A v = \lambda v，变形得到

因为特征向量不能是零向量，这就要求上面的方程组有非零解，由 Cramer 法则 知道这相当于

因此求解特征值的问题就可以转化为求解上述方程。等号左边是一个关于 \lambda 的 n 阶多项式，称为 A 的特征多项式。

若从特征多项式得到一根 \lambda_i，则 (\lambda_i I - A) v = 0 一定有非零解，也就说明一定可以找到一个向量 v 满足 \lambda_i v = A v。因此特征多项式的全部根（重根只算一个）就是 A 的全体特征值。

求解特征值和特征向量

由上述讨论知道，特征值就是特征多项式的根，求解特征多项式即可。

当已知特征值 \lambda_i 时，特征向量就是方程 (\lambda_i I - A) v = 0 的非零解，逐个求解线性方程组的通解，即可得到特征值。

性质

特征值的性质

全体特征值的和等于矩阵的迹：\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A，全体特征值的积等于矩阵的行列式：\lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A（考虑重数）。

特征值与变换

A 的全体特征值为 \lambda_1, \dots, \lambda_n：

• 设 f(x) 为一个多项式，则 f(A) 的全体特征值为 f(\lambda_1), \cdots, f(\lambda_n)；
• 若 A 可逆，则 A^{-1} 的全体特征值为 \lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_n^{-1}。

重数

对于矩阵 A，设其特征多项式为 f(\lambda) = \det(A - \lambda I)，\lambda_i 作为 f(\lambda) 一个根的重数，称为代数重数；A v = \lambda_i v 的解空间的维数，也就是 \lambda_i 对应的线性无关特征向量的个数，称为几何重数。

对于任意矩阵，都有其几何重数小于等于代数重数。