背景

测度的关系

在 Lebesgue 积分 中，通过对一个非负可测函数定义积分，我们实质上得到了一个新的测度。设对测度 \mu 和函数 f 的积分是

则我们发现 \nu 是一个新的测度，满足测度的公理。

Radon-Nikodym 导数则在问这样的一个反问题：给定两个测度 \mu 和 \nu，我们能不能找到一个函数 f，使得 \nu(E) = \int_E f \mathrm{d} \mu 恒成立？如果可以，我们就定义了两个测度间的导数。

直观例子

参考：量子力学杂谈——Radon-Nikodym导数 - 知乎

在物理中，我们经常需要研究点密度的概念。例如，如何定义一个质量不均匀的金属在某点的密度？直观的定义是：

然而上式其实存在许多问题，比如体积趋于 0 是谁的体积？体积以何种方式收缩至 0？可以保证不同的趋近方法极限都收敛于同一比值吗？体积、质量都是一个“测度”（区域到实数的映射），无法直接定义传统的导数。

于是就需要引入 Radon-Nikodym 导数的概念，将点密度视为质量测度和体积测度之间的导数。

定义

Radon-Nikodym 定理

对于两个 \sigma-有限测度 \nu, \mu（全集有限，或者全集可由一列递增的有限测度集递增得到），如果当 \mu(E) = 0 时必有 \nu(E) = 0，则必定存在一个函数 f，使得

这个函数 f 就称为 \nu 对 \mu 的 Radon-Nikodym 导数，记为

上述定义中，性质 \mu(E) = 0 \implies \nu(E) = 0 被称为测度 \mu 对测度 \nu 绝对连续。

定理的证明

思路：

• 首先假设测度是有限的
• 定义测度 \lambda = \mu + \nu
• 取测度对应的平方可积空间 L^2(\lambda)，则由泛函分析相关结论，这一定是一个 Hilbert 空间（即 Cauchy 列一定收敛）
• 定义线性泛函 L(h) = \int_X h \mathrm{d} \nu，可以证明这是连续线性泛函
• 使用 Riesz 表示定理得到 L(h) = \langle h, g \rangle = \int_X hg \mathrm{d} \lambda
• 代数变换后得到

例子

概率函数

设 X: \Omega \to \mathbb{R}^n 是一个 n 维随机变量。从概率测度 \mathbb{P} 可导出测度 \mathbb{P}_X(E) = \mathbb{P}(X \in E)。

设 m 为 Lebesgue 测度，如果当 m(E) = 0 时必有 \mathbb{P}_X(E) = \mathbb{P}(X \in E) = 0，即这个随机变量在零测集上概率也为 0，则存在一个 n 元函数 p(x) 使得

此时我们把 p(x) 称为 X 的概率密度函数，它就是 \mathbb{P}_X 对 m 的 Radon-Nikodym 导数。也因此，我们把 m(E) = 0 时必有 \mathbb{P}(X \in E) = 0 的随机变量定义为连续型随机变量。