流形的定义

直观理解

流形是曲线、曲面的一般化描述，是具有局部 Euclid 性质的 \mathbb{R}^n 的子集。

具体地说，设 M \subset \mathbb{R}^N，若对任意的点 p \in M，都可以找到一个包含 p 的开集 U_p，并且 U_p 和 \mathbb{R}^n 的某个开集 V 可以建立同胚 \varphi_p，则称点 p 附近的空间是局部 Euclid 的。

严格定义

若集合 M 是一个 拓扑空间，且满足 Hausdorff 性质、具有第二可数性，且装配了一个集族 \{(U_\alpha, \varphi_{\alpha})\}，其中 U_{\alpha} \subset M 是开集，\varphi_{\alpha}: U_{\alpha} \to V_\alpha \subset \mathbb{R}^n 是同胚，V_\alpha 是开集，并且满足

（即任何点都能找到一个坐标卡），且当 U_{\alpha} \cap U_{\beta} \neq \varnothing 时，转移映射 \varphi_\beta \circ \varphi_{\alpha}^{-1} 是一个光滑函数（坐标卡相交部分必须满足某种一致性），那么称 M 是一个光滑流形（smooth manifold）。

在上述定义下，称 M 的维数为 n，(U_\alpha, \varphi_{\alpha}) 为流形的一个坐标卡（chart） ，全体坐标卡 \{(U_\alpha, \varphi_{\alpha})\} 称为流形的图册（atlas）。

坐标卡可以类比地图上的网格线，图册如字面意思指的是多张地图的合集。可以想象我们给地球画上好几长不同的地图，比如中国世界地图（从大西洋分开）、美国世界地图（从太平洋分开）、北极地图、南极地图，那么这 4 张地图就分别是一个坐标卡，而图册就是四张地图的合集。

Hausdorff 性质：对于拓扑空间 (X, \mathcal{O}) 中任意两个不同的点 u, v \in X, u \neq v，都可以找到两个分别包含两点且无交的开集 U, V \in \mathcal{O}, u \in U, v \in V, U \cap V = \varnothing，则称拓扑空间 X 具有 Hausdorff 性质。Hausdorff 性质是为了避免集合的开集数量过少。

第二可数性：对于拓扑空间 (X, \mathcal{O})，我们可以从 \mathcal{O} 中找到可数个代表开集 O_1, O_2, \dots，使得任何开集 O 都可以表示为至多可数个代表开集的并 O = \bigcup_{i = 1}^{\infty} O_{n_i}。第二可数性是为了避免开集的数量过多。

有限坐标卡

根据 Heine-Borel 定理（有限覆盖定理），对于一个流形，如果它是有界闭集，我们总是可以抽出有限个坐标卡来覆盖这个流形。