类似于取模整数环 \mathbb{Z}_m，对一个多项式取模得到的集合 \mathbb{F}[x] / m(x) 也是一个环。

乘法与 DFT

循环卷积

在快速 Fourier 变换中，有一种运算叫循环卷积。设两个数组

a = [a_0, \dots, a_{n - 1}], \quad b = [b_0, \dots, b_{n - 1}];

则有：

c_k = \sum_{i = 0}^n a_{(i + k) \bmod n} b_{n - i - 1}.

这被成为循环卷积。

可以发现，模 x^m - 1 环的多项式乘法，就是一种循环卷积

在整数上有中国剩余定理，在多项式环上也有。

设多项式 M(x) 可以分解为若干个互质多项式的乘积：

M(x) = M_1(x) M_2(x) \cdots M_k(x);

则在环同构意义上有：

\mathbb{C}[x] / M(x) \cong \mathbb{C}[x] / M_1(x) \times \cdots \times \mathbb{C}[x] / M_k(x).