行列式（determinant，字面意思是“决定因素”）是一个标量函数，将一个 n 阶方阵映射为一个数。方阵 A 的行列式记为 \det A 或者 |A|。

定义

定义动机

行列式有若干个定义动机。

几何上，若把方阵 A 视为 n 个列向量拼成的向量组，则 \det A 描述了这 n 个列向量构成的高维“平行六面体”的体积；若把 A 视为 n 维空间上的线性变换，则 \det A 描述了变换的体积。

代数上，n 元、n 个线性方程组有唯一解，可以用一个通式表示，这个通式由 Cramer 法则给出，Cramer 法则包含了行列式。

定义1：逆序数

在 n 个数的排列 (a_1, \dots, a_n) 中（假定各个数互不相同），逆序对（inversion）指的是内部和递增顺序相反的一对数 (a_i, a_j)，也就是满足 i < j 且 a_i > a_j 的数对。一个排列的逆序对数称为这个排列的逆序数（inversion number），记为 \tau(a_1, \dots, a_n)。

在逆序数的基础上，定义逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列。

最终，n 阶行列式的定义如下，一个矩阵所有取自不同行不同列的乘积，按行递增的顺序可以排成：

的形式，将它们按列排列的奇偶性赋予符号：当 j_1, \dots, j_n 是奇排列时，赋予负号；当 j_1 \dots, j_n 是偶排列时，赋予正号；再将所有带符号的乘积加起来，其结果称为所有乘积的代数和，并定义为行列式的值：

定义2：递归按行展开

首先定义 1 阶行列式的值就是矩阵唯一元素本身：

由此还可以看出行列式符号 |(a_{11})| 和绝对值符号（以及复数、向量的模）具有不同意义，不能混淆。

然后定义 n 阶行列式的值为其按第一行展开。

定义3：公理化定义

行列式也可以给出公理化定义。设 c_1, c_2, \dots, c_n, c_n' \in \mathbb{F}^n（列向量），而 e_1, e_2, \dots, e_n 为 n 维标准基 (1, 0, \dots, 0), (0, 1, \dots, 0), \dots, (0, \dots, 0, 1)，定义行列式为 n 个 n 维列向量到一个数的映射 \det，满足三条性质：

• 可加性：\det(c_1, \dots, c_n) + \det(c_1, \dots, c_n') = \det(c_1, \dots, c_n + c_n')；
• 反交换律：\det(c_1, \dots, c_i, c_j, \dots, c_n ) = -\det(c_1, \dots, c_j, c_i, \dots, c_n )；
• 归一性：\det(e_1, \dots, e_n) = 1。

讨论

行列式的定义 1 和定义 2 只使用了加法和乘法，故可以看出行列式只需要定义在一个交换环上。交换环对行列式封闭。

性质

• 转置不改变行列式的值；
• 可以提出一行或一列的公因子，不改变行列式的值；
• 对任意一行或一列有可加性；
• 若两行或两列成比例，行列式为 0；
• 将一行（或一列）的 k 倍加到另一行（或一列）上，行列式的值不变；
• 交换两行，行列式反号。

Gauss 消元法计算行列式

C++ 代码参考：Gauss 消元法（初等变换法）

按 Gauss 消元法计算行列式，能够以时间复杂度 O(n^3) 的代价算出一个 n 阶行列式，效率比按逆序数定义计算或按第一行递归展开快得多。

方法：先令 k = 1，令变量 s = 1 记录行列式的系数，循环以下步骤直到 k > n：

• 若第 k 行全为 0，返回行列式的值为 0，跳出循环；否则，继续下一步。
• 若 a_{kk} = 0，找到同行的一个非零数 a_{kj}，交换 k, j 列，s 反号；
• 此时 a_{kk} 非零，循环令 i = k + 1, \dots, n：
  • 将第 k 行的 -a_{ik} / a_{kk} 倍加到第 i 行，此时 a_{ik} = 0；
• 令 k = k + 1。 循环结束后，行列式的值即为 s a_{11} \cdots a_{nn}。

实际手工计算中，可以适当地提取公因数，或者一行同乘一个数消掉分母，简化计算。

以上算法的计算过程中出现了除法，适用于浮点数矩阵的行列式计算；若引入适当的分数计算库，也适用于有理数矩阵的计算。

但是，根据行列式的逆序数定义或递归定义，整数行列式的值必定为整数，以上算法会出现浮点误差。此时可以使用 s 记录系数的分母，改变内层循环为：令第 i 行乘上 a_{kk} 倍，并令 s = s \cdot a_{kk}，再将第 k 行的 -a_{ik} 倍加到第 i 行。这样在运算过程中行列式将一直是整数，循环结束后行列式的值为 a_{11} \cdots a_{nn} / s，且最后的除法一定可以整除。